Sensibilité au déplacement latéral et effets du second ordre

La sensibilité au déplacement latéral est automatiquement déterminée dans ProtaStructure lorsque le code de calcul est réglé sur EC2.

Pour les autres codes évoqués ci-dessous, une évaluation de la sensibilité au déplacement latéral peut également être effectuée. Il convient toutefois de noter que cela s’appuie sur des résultats analytiques et les recommandations du code ACI.

Lorsque la sensibilité au déplacement latéral est évaluée automatiquement, prenez connaissance des limitations applicables. Elles sont consultables en cliquant sur le bouton ‘Limitations’ de l’onglet Analyse du bâtiment / Rapports.

Ni le code BS8110 ni le CP65 ne prévoient d’évaluation de la sensibilité au déplacement latéral par des méthodes analytiques. Avec BS8110 ou CP65, cochez l’option « Contreventement défini par l’utilisateur pour poteaux et voiles » puis appliquez la condition (contreventé ou non contreventé) jugée appropriée pour le bâtiment.

Si cette option n’est pas cochée, ProtaStructure évalue la sensibilité au déplacement latéral à partir des résultats analytiques et des recommandations du code ACI.

BS8110 (de même que CP65 et HK-2004)

Classification du contreventement — Dans le BS8110, les poteaux (et les voiles dans la direction de l’axe faible) sont considérés comme contreventés si la stabilité latérale est assurée (principalement) par des voiles ou d’autres éléments plus rigides. Cette classification relève du jugement de l’ingénieur.

Effets P-Delta globaux — il est implicitement supposé ci-dessus que les voiles apportent une rigidité latérale suffisante pour que le déplacement latéral global du bâtiment reste faible, ce qui permet d’ignorer les effets P-Delta « grands » dans les structures contreventées. Pour les structures non contreventées, aucune indication claire ne précise si l’effet P-Delta global est également considéré comme négligeable, ou s’il est simplement pris en compte dans l’amplification des moments de calcul décrite ci-dessous.

Classification de l’élancement — elle repose sur la longueur efficace.

1. Dans les structures contreventées, les longueurs efficaces sont < 1, et
2. dans les structures non contreventées, les longueurs efficaces sont > 1.

Les éléments courts (non élancés) ne subissent aucune amplification de moment, même s’ils sont non contreventés.

Éléments élancés (éléments sensibles aux effets P-Delta)

• Éléments contreventés élancés – les moments supplémentaires sont calculés à partir de la longueur efficace et sont maximaux vers la mi-hauteur. Ces moments ne s’ajoutent pas au moment d’extrémité le plus élevé : il peut donc s’agir ou non d’une condition de calcul critique. Ce moment supplémentaire vise clairement à couvrir les effets P-Delta « petits » (flambement de bielle)
• Éléments non contreventés élancés – les moments supplémentaires sont calculés à partir de la longueur efficace (plus longue, donc avec des moments supplémentaires plus élevés), et sont maximaux aux extrémités de l’élément. Ce moment supplémentaire s’ajoute au moment d’extrémité le plus élevé : il s’agira donc toujours d’une condition de calcul critique.

Il est supposé que cette amplification de la condition de calcul critique vise à couvrir à la fois les grands et les petits effets P-Delta.

L’avantage de la procédure ci-dessus est que l’amplification des moments dans chaque poteau dépend uniquement de la classification et de l’élancement de ce poteau. Lorsque les poteaux sont non contreventés, cela n’est pas entièrement logique, et la clause cl3.8.3.8 propose une option permettant d’utiliser l’effet d’élancement moyen de tout un étage non contreventé pour tous les éléments de ce niveau. En général, cela signifie que les éléments non contreventés mais non élancés contribuent à un effet de rigidification moyen, ce qui rend le calcul moins conservateur.

Cette option n’est pas appliquée dans ProtaStructure, car la procédure de calcul deviendrait fortement itérative (le calcul de chaque poteau affecterait le calcul de tous les autres poteaux d’un niveau non contreventé, et l’amplification des moments devrait être introduite pour les éléments non élancés).

ACI 318-02

Lorsque le code de calcul est réglé sur BS8110, CP65 ou HK-2004 ; si vous décochez « Contreventement défini par l’utilisateur pour poteaux et voiles », une fonction permet d’évaluer la sensibilité de chaque étage aux effets P-Delta. Elle utilise la méthode de classification de l’ACI lors de l’analyse du bâtiment.

Classification du contreventement — avec l’approche ACI, chaque niveau d’étage d’un bâtiment est classé comme à nœuds déplaçables ou à nœuds fixes. Le code propose aussi une méthode d’évaluation analytique de cette classification, basée sur les déflexions issues d’une analyse linéaire de la structure.

Effets P-Delta globaux — lorsqu’un étage est classé « à nœuds fixes », on peut supposer que les effets P-Delta globaux sont assez faibles pour être négligés à ce niveau. Lorsqu’un étage est classé « à nœuds déplaçables », les résultats de l’analyse du portique doivent être amplifiés d’une manière ou d’une autre. Les options proposées sont :

• Une analyse du second ordre (qui affecterait inévitablement tous les éléments de la structure)
• Des méthodes approchées d’amplification des moments (la clause cl.10.13.2 semble indiquer que cette amplification des moments ne doit s’appliquer qu’aux éléments élancés de chaque niveau d’étage, comme en BS8110 — est-ce logique ? Ou faut-il amplifier les moments de balancement de tous les poteaux et voiles, niveau par niveau ?)

Classification de l’élancement — elle repose sur la longueur efficace. Aux niveaux « à nœuds fixes », les longueurs efficaces sont < 1, et aux niveaux « à nœuds déplaçables », elles sont > 1. Un élément a bien plus de chances d’être classé élancé s’il se trouve à un niveau « à nœuds déplaçables ».

Les éléments courts (non élancés) ne subissent aucune amplification de moment, même à des niveaux « à nœuds déplaçables ».

Éléments élancés (éléments sensibles aux effets P-Delta)

• Éléments élancés à des niveaux à nœuds fixes — les moments additionnels sont calculés à partir de la longueur efficace et sont considérés comme maximaux à mi-hauteur environ. Ces moments ne s’ajoutent pas au moment d’extrémité le plus élevé ; ce cas peut donc être dimensionnant ou non.

Sur le fond, cette approche est identique à celle utilisée pour les éléments élancés contreventés en BS8110.

• Éléments à des niveaux à nœuds déplaçables — comme indiqué plus haut, les moments d’extrémité de tous les éléments peuvent être amplifiés pour tenir compte des effets P-Delta globaux. Si un élément à un tel niveau est classé élancé, le calcul du moment amplifié ne repose pas sur la longueur efficace de chaque élément pris individuellement. Les coefficients d’amplification des moments reposent soit sur l’indice de stabilité de l’étage (cl.10.13.4.2), soit sur une évaluation de la capacité de flambement moyenne de tous les éléments de l’étage (cl.10.13.4.3 — méthode comparable à l’option facultative de la BS8110).

Le moment additionnel s’ajoute au moment d’extrémité le plus élevé ; ce cas est donc toujours dimensionnant. Vérification supplémentaire (cl.10.13.5) — une fois les moments d’extrémité amplifiés, il faut vérifier que les effets d’élancement intermédiaire (avec une longueur efficace = 1,0L) ne sont pas plus critiques.

La méthode d’amplification des moments diffère pour les éléments élancés aux niveaux à nœuds déplaçables. Les principes généraux d’amplification des moments restent toutefois les mêmes en BS8110 et en ACI, et les termes de classification sont interchangeables :

• BS8110 Contreventé = ACI À nœuds fixes

• BS8110 Non contreventé = ACI À nœuds déplaçables

L’ACI a l’avantage de ne pas laisser la classification au jugement de l’ingénieur. Elle permet aussi de combiner des classifications contreventées et non contreventées au sein d’une même structure.

Les amplifications de l’ACI ne s’appliquent qu’aux cas de charge latérale. Cela ne tient pas compte du fait qu’un balancement peut résulter de charges verticales appliquées à une structure non symétrique, et néglige donc la possibilité d’effets P-Delta significatifs liés à cet aspect du balancement. Pour la plupart des structures de type « bâtiment », cette simplification reste toutefois acceptable.

L’approche de l’ACI pour les poteaux élancés semble soulever une question. Si l’amplification du moment de balancement est faite à l’aide de l’indice de stabilité, le poteau doit-il alors être calculé comme un poteau contreventé, avec une longueur efficace = 1,0 (puisque l’aspect non contreventé — effets P-Delta globaux — de l’élancement a déjà été pris en compte) ? Cette approche semble bien moins conservatrice que la procédure proposée pour l’EC2, décrite ci-dessous.

EC2

En EC2, une terminologie similaire est utilisée, mais avec des significations différentes :

• Cl 5.8.1 – Introduit la notion d’éléments contreventés et d’éléments de contreventement.
• Cl 5.8.2 – Effets du second ordre – cette clause distingue les effets globaux (applicables à l’ensemble de la structure) des effets isolés sur un élément (élancement).

Classification du contreventement — Les éléments de contreventement sont les éléments supposés assurer la stabilité latérale de la structure. Les poteaux et les voiles qui ne sont pas des « éléments de contreventement » sont classés comme « contreventés ». Cette classification comporte malheureusement une part d’appréciation de l’ingénieur, qui sera abordée plus loin.

Effets P-Delta globaux — des indications permettent de déterminer si ces effets peuvent être négligés (pour les besoins de cette discussion, nous qualifierons de « sensibles au déplacement latéral » les structures pour lesquelles les effets P-Delta globaux ne peuvent pas être négligés). La clause 5.8.3.3 (1) donne une équation simple, applicable uniquement dans des cas limités et par ailleurs difficile à appliquer. Les premiers calculs effectués avec cette équation ont laissé penser qu’elle serait trop conservatrice, ce qui classerait trop de structures comme sensibles au déplacement latéral.

L’annexe H fournit des indications un peu plus générales. Pour automatiser la classification de l’annexe H dans ProtaStructure, l’approche a été modifiée pour se rapprocher, sur le principe, de la méthode de classification de l’ACI. Une seule classification est appliquée à l’ensemble de la structure résistant au déplacement latéral (les éléments de contreventement). S’il est établi que les effets P-Delta globaux ne peuvent pas être négligés (la structure est sensible au déplacement latéral), l’approche devient alors une procédure pilotée par l’utilisateur, dans laquelle les charges de déplacement latéral sont amplifiées conformément à l’annexe H. Il s’agit d’une procédure relativement simple, appliquée comme suit :

1. Consulter le rapport de sensibilité au déplacement latéral pour obtenir les facteurs d’amplification de charge suggérés.

2. Appliquer cette amplification aux facteurs de combinaison de charges existants.

3. Relancer l’analyse en utilisant l’option de dérogation à toute nouvelle évaluation de la sensibilité au déplacement latéral, et dimensionner la structure comme si elle n’était pas sensible au déplacement latéral (les effets P-Delta globaux étant désormais pris en compte).

Des essais ont montré que la procédure d’évaluation de la sensibilité au déplacement latéral décrite ci-dessus aboutit à une classification sans déplacement latéral pour la grande majorité des structures.

Remarque : Bien que la classification s’applique aux éléments de contreventement, il est impossible de les isoler lors de l’analyse de la structure ; les forces P-Delta (introduites par l’amplification des charges ou par l’analyse P-Delta) s’accumulent donc dans tous les éléments (contreventés ou de contreventement, courts ou élancés).

Classification de l’élancement — elle repose sur la longueur efficace. Pour les éléments contreventés, la longueur efficace est < 1 ; pour les éléments de contreventement, elle est > 1. Un élément a beaucoup plus de chances d’être classé comme élancé lorsqu’il est classé comme élément de contreventement.

• Comme indiqué plus haut, si ces éléments existent dans une ossature sensible au déplacement latéral, les efforts de calcul ont pu être amplifiés lors de la procédure d’analyse générale.
• aucune autre amplification des moments n’est alors appliquée.

• Éléments élancés contreventés – les moments additionnels sont calculés à partir de la longueur efficace et sont considérés comme maximaux à mi-hauteur environ. Ces moments ne s’ajoutent pas au moment d’extrémité le plus élevé ; il se peut donc, ou non, que cela devienne une condition de calcul dimensionnante

• Éléments élancés de contreventement – comme dans BS8110 – les moments additionnels sont calculés à partir de la longueur efficace (plus grande, donc les moments additionnels seront plus élevés). Contrairement à BS8110, le moment additionnel n’a pas à être ajouté au moment d’extrémité le plus élevé (car ce moment d’extrémité est déjà amplifié si la structure est sensible au déplacement latéral). Dans l’EC2, les moments additionnels des éléments élancés sont introduits de la même manière, que l’élément existe ou non dans une ossature sensible au déplacement latéral.

• EC2 contreventé = BS8110 contreventé
• EC2 de contreventement = BS8110 non contreventé (mais on peut s’attendre à ce que l’amplification de l’EC2 soit inférieure, car à ce stade l’amplification de BS8110 combine à la fois les effets globaux et locaux, alors que dans l’EC2 tout effet global aurait déjà été introduit). 

L’EC2 impose à l’utilisateur de distinguer les éléments contreventés des éléments de contreventement d’une structure. Cela peut être défini dans l’onglet Déplacement latéral des Paramètres du bâtiment.

Ce paramètre n’a aucun rapport avec l’évaluation de la sensibilité au déplacement des nœuds, traitée séparément.

L’objectif est d’identifier les éléments de contreventement dans chaque direction globale (les types d’éléments qui contribuent à la stabilité latérale du bâtiment). Le réglage par défaut est illustré ci-dessus : les poteaux sont considérés comme contreventés ; les voiles sont considérés comme contreventés selon leur axe mineur, mais assurent le contreventement de la structure selon leur axe majeur.

Évaluation de la sensibilité au déplacement des nœuds

La plupart des recommandations relatives à l’EC2 suggèrent que la majorité des bâtiments seront classés à nœuds fixes. Le calcul selon la BS8110 suppose que tout bâtiment stabilisé par des voiles de contreventement ou de noyau est à nœuds fixes. Cette hypothèse est censée se vérifier.

Que cela se vérifie ou non importe peu : la classification de la sensibilité au déplacement des nœuds doit être établie. L’Eurocode propose trois méthodes pour cela :

1. Utiliser l’art. 5.8.3.3 (éq. 5.18)
2. Se référer aux recommandations de l’Annexe H
3. Réaliser une analyse P-Delta et vérifier que l’écart des résultats reste inférieur à 10 % (art. 5.8.2) ; si c’est le cas, revenir à une analyse élastique linéaire.

Si la structure est classée comme sensible au déplacement des nœuds, deux méthodes permettent d’y remédier :

1. Annexe H – application de forces horizontales majorées.
2. Réaliser une analyse P-Delta en cochant l’option « Appliquer l’analyse P-Delta » dans l’éditeur des Combinaisons de charges

Veuillez consulter le champ d’application et les limites de l’analyse P-Delta de ProtaStructure : Combinaisons de charges > Analyse P-Delta

Il existe en réalité une troisième option, applicable lorsqu’un ingénieur découvre qu’un bâtiment est sensible au déplacement des nœuds : il peut ajouter des voiles de contreventement supplémentaires et modifier ainsi la classification !

Au premier abord, l’option P-Delta peut sembler intéressante. L’EC2 précise cependant que les propriétés des éléments doivent refléter le fluage et la fissuration réels. Le calcul de ces propriétés devient alors une procédure propre à chaque élément.

Pour les structures sensibles au déplacement des nœuds, ProtaStructure applique les recommandations de l’Annexe H.

Exemple pratique pour une structure EC2 sensible au déplacement des nœuds

Le modèle ci-dessus comporte deux panneaux de voile de 3 m assurant la stabilité dans chaque direction.

Hauteur d’étage = 3,0 m

Longueur / largeur du voile = 3 m / 0,2 m

Classe de béton = C30/37

G = 7 kN/m2 (total, voiles comprises)

Q = 2,5 kN/m2

Les poutres assurent uniquement la collecte des charges ; elles sont articulées aux deux extrémités pour que les charges latérales soient reprises par les voiles de contreventement.

Les notes accompagnant l’éq. H.8 renvoient à l’art. 5.8.7.2. La raideur des éléments utilisée pour l’analyse de classification doit être ajustée. Cet ajustement est défini à l’art. 5.8.7.2.

L’art. 5.8.7.2 fournit une méthode de calcul de la raideur nominale des éléments comprimés. Une application rigoureuse de cet article exigerait des itérations, car les propriétés ajustées dépendent de chaque élément (charge, armature, voire direction).

Des méthodes simplifiées sont proposées. La plus simple utilise néanmoins le coefficient thêta-ef (le « coefficient de fluage effectif »), qui reste un calcul propre à chaque élément.

Les facteurs de rigidité peuvent être définis dans Facteurs de rigidité effective des matériaux et des sections.

 En référence à l’éq. 5.26, si l’on suppose que theta-ef est d’environ 1.5, l’ajustement de rigidité approximatif suggéré peut être calculé :

• Kc = 0.3 / (1 + 0.5*theta-ef) = environ 0.175

 Pour les poutres, des ajustements doivent être effectués pour tenir compte du fluage et de la fissuration – on suppose :

• I-cracked = 0.5 I-conc
• (éq. 5.25) Ecd-eff = Ecd / (1 + theta-ef) = Ecd / 2.5
• L’ajustement total de EI est donc de 0.5/2.5 = 0.2.

Dans l’ensemble, les ajustements initiaux semblent pouvoir descendre jusqu’à 0.15 à 0.2 EI pour tous les éléments. Pour comparaison, l’ACI propose une recommandation plus concise. L’ACI suggère de réduire la rigidité (EI) par un facteur de 0.35 (ou 0.7 si les éléments sont non fissurés). Ce facteur de 0.35 doit être réduit davantage en présence de charges latérales soutenues. Il semble logique de considérer les charges fictives comme des charges latérales soutenues. Un facteur d’ajustement de 0.2 peut donc paraître légèrement trop conservateur, sans être très éloigné de la recommandation de l’ACI.

L’ACI classe par ailleurs un bâtiment comme sensible au déplacement latéral lorsque Q > 5%, tandis que l’EC2 admet un seuil de 10%. Si le facteur d’ajustement EC2 est d’environ 0.175 contre 0.35 pour l’ACI, les classifications des bâtiments seraient donc presque identiques.

Classification ACI (à titre de comparaison)

Dans Facteurs de rigidité effective des matériaux et des sections, la rigidité en flexion de tous les éléments est ajustée à 0.35 avant l’analyse, comme indiqué précédemment.

Le rapport montre que la structure est classée sensible au déplacement latéral à tous les niveaux, sauf le plus bas.

Dans l’ACI, seuls 5% des effets du second ordre sont considérés comme négligeables. Q en est la mesure. Il est intéressant de noter qu’au niveau le plus bas, Q est à peine inférieur à 0.05, alors qu’il devient nettement supérieur au niveau le plus haut.

Si l’on réduit ce modèle à un bâtiment de 4 étages, le rapport ci-dessous montre que la structure reste classée sensible au déplacement latéral aux niveaux supérieurs.

Comme montré ci-dessus, les effets P-Delta peuvent être proportionnellement plus élevés aux niveaux supérieurs.

Classification EC2 selon l’Annexe H

D’après la discussion dans Propriétés d’analyse du modèle, Dans Facteurs de rigidité effective des matériaux et des sections, la rigidité en flexion de tous les éléments est ajustée à 0.17. Bien que 0.17 soit utilisé ici, vous pouvez choisir une valeur plus élevée ou plus basse selon votre jugement d’ingénieur.

Le rapport montre que la structure de 5 étages est classée sensible au déplacement latéral à tous les niveaux.

Dans l’EC2, 10% des effets du second ordre sont considérés comme négligeables. Q en est la mesure. La vérification réelle est donc : si Q > 0.1, la classification est sensible au déplacement latéral. Les valeurs ci-dessus montrent que c’est vrai à tous les niveaux.

Il est à noter que Q est à peine supérieur à 0.1 au niveau le plus bas, mais devient nettement plus élevé au niveau le plus haut. Si l’on réduit ce modèle à un bâtiment de 4 étages, le rapport ci-dessous montre que même si Q devient inférieur à 0.1 au niveau le plus bas, la structure reste classée sensible au déplacement latéral aux niveaux supérieurs.

Bien que les propriétés de section réduites, combinées à la limite d’amplification P-Delta négligeable augmentée, rendent le seuil de classification sway-sensitive/non-sway très proche pour les deux codes, les facteurs d’amplification qui s’appliquent aux bâtiments classés sway-sensitive sont plus élevés (double) pour l’EC2.

L’EC2 ne semble pas reconnaître le concept selon lequel un bâtiment peut avoir une sensibilité au sway différente selon les niveaux ; une seule classification et un seul facteur d’amplification sont appliqués à l’ensemble du bâtiment. Cette exigence est prise en compte dans le rapport par l’ajout d’une ligne supplémentaire pour « All » storeys. Dans l’exemple à 4 étages ci-dessus, la valeur Q calculée pour « All » storeys est 0,1497 (donc sway sensitive).

Déflexion totale = 5,99 mm

Charge axiale totale (F-V.Ed) = 30349

Charge de cisaillement totale (F-H.Ed) = 101,2

Hauteur totale = 12 m

Q = 1,5 (30349 * 0,00599) / (101,2 *12) = 0,1497 > 0,1 (donc sway sensitive).

Application des facteurs d’amplification de charge

Si le modèle est classé non-sway, aucun ajustement supplémentaire n’est requis : le calcul des éléments est effectué avec les combinaisons de charges et facteurs existants.

Si (comme dans ce cas) le modèle est classé sway-sensitive, les effets du second ordre doivent être pris en compte dans le calcul. Comme indiqué précédemment, le code propose deux options pour cela :

• Annexe H – Application d’une force horizontale augmentée (adoptée automatiquement dans ProtaStructure)